"Adm. de Justicia" significa Administración de Justicia, desde luego; pero forma parte de la expresión "Letrada de la Administración de Justicia", que es el título actual de los funcionarios que antes se llamaban Secretarios/as Judiciales (en inglés, Court Clerks). El cambio se produjo en 2015, a raíz de la Ley Orgánica 7/2015, de 21 de julio, en la que se establece que: "todas las referencias que se contengan en la Ley Orgánica 6/1985, de 1 de julio, del Poder Judicial, así como en otras normas jurídicas, a Secretarios judiciales y Secretarios sustitutos, deberán entenderse hechas, respectivamente, a Letrados de la Administración de Justicia y Letrados de la Administración de Justicia suplentes."

Véanse estas preguntas anteriores:
http://esl.proz.com/kudoz/spanish_to_english/law_general/610... (donde cito a Rebecca Jowers sobre este asunto)
http://www.proz.com/kudoz/spanish_to_english/law_general/622...

Véase también aquí:
http://www.mjusticia.gob.es/cs/Satellite/Portal/es/servicios...

"Sust.", desde luego, significa "sustituta", es decir, suplente. Esta señora es lo que antes se habría llamado Secretaria Judicial del juzgado mencionado, pero no como titular, sino sustituta.